Polynomdivision

Um z.B. für Nullstellenberechnung aus einer Funktion 3. Grades eine Funktion 2. Grades zu bekommen, muss durch x geteilt werden um dann mit der Normalform der Funktion 2. Grades weiterzurechnen(LösungsformelSatz von Vieta). Um durch ein Polynom (die Funktion) zu teilen, brauchen wir ja einen Divisor. Diesen bekommt im Falle von Funktionen durch erraten einer Nullstelle. Ist die Nullstelle z.B. 3 (Die meisten Nullstellen sind -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3), so schreibt man:

 

(x-3)           -> setzt man 3 ein kommt Null raus:

 

(3-3) = 0    

 

Insgesamt steht dann:

 

Polynom : (x-3) = xy

 

Beispiel:

 

 

Das Polynom x³ + 6x² + 3x - 10 soll durch das Polynom x + 5 geteilt werden.

Man überlegt zuerst, wie oft (x+5) in das erste Polynom hineinpaßt. Das ist hier natürlich etwas unklarer als bei Zahlen. Man betrachtet dabei stets die höchste Potenz aus beiden Polynomen (also x³ aus dem ersten und x aus dem zweiten Polynom) und fragt, wie oft x in x³ hineinpaßt. Anders gefragt: Mit was muß man x malnehmen, damit  herauskommt? — Natürlich mit . Das ist das erste Glied unseres Ergebnisses:

( + 6x² + 3x - 10) : (x + 5)  =  

 

           Hinweis:  = x·

Wie bei der Division von Zahlen nimmt man nun den neuen Bestandteil des Ergebnisses mal den Divisor und schreibt ihn passend unter den Dividenden ("passend" bedeutet hier, gleiche Potenzen von x untereinander zu schreiben):

 (x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5)  =  

 (x³ + 5x²)

               Hinweis: (x³ + 5x²) = (x + 5)·

Dabei wird (wie bereits erwähnt) darauf geachtet, daß gleiche Potenzen von x untereinander stehen. Nun wird subtrahiert und (im Unterschied zur Division von Zahlen) alles gleich "heruntergeholt":

 (x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5)  =  x²

-(x³ + 5x²)              

         + 3x - 10

 

        Hinweis:  = 6x² - 5x²

Aha: Der Rest hat nur noch den Polynomgrad 2! Durch den nächsten Schritt reduzieren wir den Grad des Restes weiter, indem wir das x² aus dem Rest herauswerfen. Wieder die Frage: Wie oft paßt das x aus dem Divisor in das x² (die höchste Potenz des Restes)? Antwort: x-mal, denn x mal x ergibt x². Der nächste Summand des Quotienten (des Ergebnisses) ist + x.

 (x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5)  =  x² + x

-(x³ + 5x²)

        x² + 3x - 10   

Das x wird mit dem Divisor (x+5) multipliziert und vom Rest abgezogen:

 (x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5)  =  x² + x

-(x³ + 5x²)

        x² + 3x - 10

      -(x² + 5x)        = (x+5)·x

            -2x - 10

Frage: Wie oft paßt x in -2x? Antwort: -2 mal. Also sind die nächsten Schritte, -2 an das Ergebnis anzuhängen, mit (x+5) zu multiplizieren und das Produkt vom Rest abzuziehen:

 (x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5)  =  x² + x - 2

-(x³ + 5x²)

        x² + 3x - 10

      -(x² + 5x)

            -2x - 10

          -(-2x - 10)

                   0   ╶→ Es geht ohne Rest auf

 

Danke an Arndt-Brünner