Die Null

Die Null ist unter allen Zahlen eine besondere. Im Normalfall stellt man sich unter der Null so ungefähr die "Mitte" aller Zahlen vor, und im Alltag ist sie recht gleichbedeutend mit sowas wie "nix".

In der Mathematik kommt der Null keine überaus große Beachtung zu, da man sie zum rechnen nicht besonders gut verwenden kann, jedoch muss man sie ständig im Hinterkopf haben, damit sie die Rechnung oder Gleichung nicht kaputt macht, wenn man falsch umformt.

Also aufgepasst, das hier ist wichtig!


Die Grundlagen der Null sind recht schnell erklärt:

  • Wenn man zu einer Zahl/einem Term 0 addiert, verändert sich der Wert der Zahl/des Terms nicht.
  • Wenn man von einer Zahl/einem Term 0 subtrahiert, so verändert sich der Wert der Zahl/des Terms nicht.

Diese beiden wichtigen Regeln sind wohl offensichtlich.


Weiterführend gilt für Multiplikation und Division folgendes:

  • Wenn man eine Zahl/einen Term mit 0 multipliziert, so ist das Produkt der Faktoren 0.
  • Wenn man eine Zahl/einen Term durch 0 dividiert, SOLLTEN ALLE ALARMGLOCKEN SCHRILLEN!

Denn: Unter keinen Umständen darf durch 0 dividiert werden! Das Ergebnis ist nicht definiert, es ist verboten!


Diese Tatsache ist sehr wichtig für die Umformung von Gleichungen und die Lösung selbiger:

 

Beim Umformen von Gleichung darf nicht durch eine Variable geteilt werden, wenn diese 0 sein könnte (wenn 0 Element der Definitionsmenge ist).

 

Falls: 0 ∈ Df , darf nicht durch Variable dividiert werden.

 

Im Beispiel ist die Variable x:

 

Beispiel:      2x = 5x + 5  ; Df =

                     2x = 5x + 5| : x     FALSCH, da x Null sein könnte!

 

Richtig wäre:

2x = 5x + 5 | -2x

 0 = 3x + 5 | -5

- 5 = 3x       | : 3

x = - 5/3 = -11/3

 

Wie man bei Äquivalenzumformungen dennoch durch die Variable teilen darf, werden wir im entsprechenden Artikel zu den Gleichung behandeln.


Da nicht durch 0 geteilt werden darf, muss auch bei Brüchen und Bruchgleichung erhöhte Vorsicht herrschen.

Da der Bruchstrich nichts anders ist als ein "geteilt durch", darf im Nenner des Bruchs keine Null stehen:

Bei normalen Brüchen ist dies gut vermeidbar, bei gebrochenrationalen Funktionen ist hier mehr Vorsicht geboten;

Hier müssen sämtlichen Zahlen, für die der Nenner der Funktion 0 werden würde, aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden.

 

Beispiel:

 

Wenn man diese Regeln zur 0 beachtet, sollte es keine Schwierigkeiten geben (oder vielleicht doch?). Bei den einzelnen Bereichen der Funktionen und den Gleichungen werden wir natürlich immer wieder auf die 0 hinweisen, wenn dies erforderlich ist!